〔數論〕數位大互換－fksnlix的部落格

標題:

〔數論〕數位大互換

發問:

設?C 為一正整數，其十進位表示有 (2n + 1) 個位數，且第一個位數非 0。把 C 的位數分成兩部分 C = A|B，其中 A 有? n? 位數，B 有 (n + 1) 位數。現在把 A, B 的位置互換變成 B|A，則得到? 8C，請問 C 的最小可能值？更新: 後面的 8C 當然是指 8 × C 這個數字。更新 2: To Xie: 嗯，你沒有寫出最後 k 如何求得，剛好在此，你最佳的 k 卻錯了。其餘沒大問題。

此文章來自奇摩知識+如有不便請留言告知

最佳解答:

let Q=10^n B>A 8(A*10Q+B)=B*Q+A 80AQ + 8B=BQ + A (B-80A)=(8B-A)/Q ...(1) let B-80A=k B=80A+k ...(2) 帶入(1): kQ=8(80A+k)-A k(Q-8)=639A=71*9*A Q>A=k(Q-8)/639~ kQ/639>Q/10 639>=k>=64 C 最小 <==> A最小 <==> n最小 k(10^n-8)==0 (mod 639) because 10^n=1 (mod 9) ==> k = 9m; 71 >=m>=8 (1) when m=71,k=639, A=Q-8 B=80A+k=80Q-640+639=80Q-1 when n=1, A=2, B=799==> 2799*8=22392(不合) when n>=2, A=9...2, B=79...9==> 9...279...9*8=79...4239...2(不合) (2) when m<71, ==> 10^n-8 ==0 (mod 71) 以Excel 驗算, n最小=17 m最小=8 ==> k最小=72 A=k(10^17-8)/639=11267605633802816 B=80A+k=901408450704225352 C=11267605633802816901408450704225352

其他解答:

愍，那是當然的，再來啊？|||||8A*10^(n+1)+8B=A+B*10^n 是不是要符合此式?|||||他說了，第一個位數非 0428DFA428D9FA6F8