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標題:
發問:
考慮ax^2±bx+c和ax^2±bx-c，甚麼條件下它們都能分解成(px+r)(qx+s)的模樣，而a,b,c,p,q,r,s均是整數？ 如x^2-5x-6=(x-6)(x+1) x^2-5x+6=(x-3)(x-2) x^2+5x-6=(x+6)(x-1) x^2+5x+6=(x+3)(x+2) 另外， a=2,b=±5,c=3 a=3,b=±5,c=2 a=6,b=±5,c=1 均可以。 問有沒有其他可能的答案？ 更新: Adrian你說明了有無限個可因式分解的一元二次三項式，但並沒有解答上述的問題，即a,b,c如何取值才會使ax^2±bx+c和ax^2±bx-c同時可以因式分解，並舉出一組值。 更新 2: Adrian，問題是a,b,c的取值如何使以下使四條式「均」可以因式分解！ ax^2+bx+c ax^2+bx-c ax^2-bx+c ax^2-bx-c 計discriminant，你給的例子只能使其中「兩」條可以因式分解，不是全部 :D 不妨補充一下內容，你說有infinitely many a,b,c既值使ax^2+bx+c可因式分解的確是對的 ^^
最佳解答:
ax^2 + bx + c = (px + r)(qx + s) ax^2 + bx - c = (px - s)(qx + r) 所以 pq = a, rs = c, ps + qr = b, pr - qs = b 因為最後兩個都等於 b，所以 ps + qr = pr - qs ==> p(r - s) = q(r + s) 所以只要符合 p = r + s 及 q = r - s 那就可以了。 例如 r = 4, s = 3, p = 7, q = 1, 即 (7x ± 4)(x ± 3) = 7x^2 ± 25x + 12 (7x - 3)(x + 4) = 7x^2 + 25x - 12 (7x + 3)(x - 4) = 7x^2 - 25x - 12 例如 r = 7, s = 4, p = 11, q = 3, 即 (11x ± 7)(3x ± 4) = 33x^2 ± 65x + 28 (11x - 4)(3x + 7) = 33x^2 + 65x - 28 (11x + 4)(3x - 7) = 33x^2 - 65x - 28 2013-02-27 16:34:32 補充： a = pq, b = ps + qr 或 b= pr - qs, c = rs, p = r + s, q = r - s 所以只要你設定咗 r 及 s, 那 a, b, c, p, q 就出晒來了。 例如設 r = 5, s = 2, 則 q = 3, p = 7, a = 21, b = 29, c = 10, 即 21x^2 ± 29x + 10 = (7x ± 5)(3x ± 2) 21x^2 + 29x - 10 = (7x - 2)(3x + 5) 21x^2 - 29x - 10 = (7x + 2)(3x - 5)
其他解答:
事實上有無限多個 (infinitely many) 可能的答案. 一個一元二次的三項式, 其根為 ( -b 加或減 sqrt(b^2-4ac) )/ (2a), 所以, b^2 - 4ac 一定要是平方數, 才能使 p, q, r, s 為整數. 2013-02-25 16:19:38 補充： 再淺白一點說, b^2 - 4ac = 1 可取 a = 2, b = 3, c = 1, 就是 2x^2 + 3x +1 = (x+1)(2x+1) b^2 - 4ac = 4 可取 a = 3, b = 4, c = 1, 就是 3x^2 + 4x +1 = (x+1)(3x+1) b^2 - 4ac = 9 可取 a = 4, b = 5, c = 1, 就是 4x^2 + 5x +1 = (x+1)(4x+1) 可見其中一答案可以是 a = m, b = m+1 c = 1. 2013-02-25 16:19:55 補充： 我可再舉多個: a = 1, b = m+1 c = m 2013-02-25 16:20:11 補充： 樓主, 其實我已經答了你問題. 你要的條件就是 b^2 - 4ac = k^2, where k is any integer. 即: b^2 - 4ac = 1, 4, 9, 25,... 等等的平方數.
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ax^2±bx+c和ax^2±bx-c的因式分解發問:
考慮ax^2±bx+c和ax^2±bx-c，甚麼條件下它們都能分解成(px+r)(qx+s)的模樣，而a,b,c,p,q,r,s均是整數？ 如x^2-5x-6=(x-6)(x+1) x^2-5x+6=(x-3)(x-2) x^2+5x-6=(x+6)(x-1) x^2+5x+6=(x+3)(x+2) 另外， a=2,b=±5,c=3 a=3,b=±5,c=2 a=6,b=±5,c=1 均可以。 問有沒有其他可能的答案？ 更新: Adrian你說明了有無限個可因式分解的一元二次三項式，但並沒有解答上述的問題，即a,b,c如何取值才會使ax^2±bx+c和ax^2±bx-c同時可以因式分解，並舉出一組值。 更新 2: Adrian，問題是a,b,c的取值如何使以下使四條式「均」可以因式分解！ ax^2+bx+c ax^2+bx-c ax^2-bx+c ax^2-bx-c 計discriminant，你給的例子只能使其中「兩」條可以因式分解，不是全部 :D 不妨補充一下內容，你說有infinitely many a,b,c既值使ax^2+bx+c可因式分解的確是對的 ^^
最佳解答:
ax^2 + bx + c = (px + r)(qx + s) ax^2 + bx - c = (px - s)(qx + r) 所以 pq = a, rs = c, ps + qr = b, pr - qs = b 因為最後兩個都等於 b，所以 ps + qr = pr - qs ==> p(r - s) = q(r + s) 所以只要符合 p = r + s 及 q = r - s 那就可以了。 例如 r = 4, s = 3, p = 7, q = 1, 即 (7x ± 4)(x ± 3) = 7x^2 ± 25x + 12 (7x - 3)(x + 4) = 7x^2 + 25x - 12 (7x + 3)(x - 4) = 7x^2 - 25x - 12 例如 r = 7, s = 4, p = 11, q = 3, 即 (11x ± 7)(3x ± 4) = 33x^2 ± 65x + 28 (11x - 4)(3x + 7) = 33x^2 + 65x - 28 (11x + 4)(3x - 7) = 33x^2 - 65x - 28 2013-02-27 16:34:32 補充： a = pq, b = ps + qr 或 b= pr - qs, c = rs, p = r + s, q = r - s 所以只要你設定咗 r 及 s, 那 a, b, c, p, q 就出晒來了。 例如設 r = 5, s = 2, 則 q = 3, p = 7, a = 21, b = 29, c = 10, 即 21x^2 ± 29x + 10 = (7x ± 5)(3x ± 2) 21x^2 + 29x - 10 = (7x - 2)(3x + 5) 21x^2 - 29x - 10 = (7x + 2)(3x - 5)
其他解答:
事實上有無限多個 (infinitely many) 可能的答案. 一個一元二次的三項式, 其根為 ( -b 加或減 sqrt(b^2-4ac) )/ (2a), 所以, b^2 - 4ac 一定要是平方數, 才能使 p, q, r, s 為整數. 2013-02-25 16:19:38 補充： 再淺白一點說, b^2 - 4ac = 1 可取 a = 2, b = 3, c = 1, 就是 2x^2 + 3x +1 = (x+1)(2x+1) b^2 - 4ac = 4 可取 a = 3, b = 4, c = 1, 就是 3x^2 + 4x +1 = (x+1)(3x+1) b^2 - 4ac = 9 可取 a = 4, b = 5, c = 1, 就是 4x^2 + 5x +1 = (x+1)(4x+1) 可見其中一答案可以是 a = m, b = m+1 c = 1. 2013-02-25 16:19:55 補充： 我可再舉多個: a = 1, b = m+1 c = m 2013-02-25 16:20:11 補充： 樓主, 其實我已經答了你問題. 你要的條件就是 b^2 - 4ac = k^2, where k is any integer. 即: b^2 - 4ac = 1, 4, 9, 25,... 等等的平方數.
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