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標題:
p.42 (10.11.12) 二項式定理 中四符加數
發問:
10) 已知(1+2x-3x^2)^n=1+ax+bx^2+x高次冪的項﹐其中n為正整數。 a)試以n表a及b b)b=63﹐求的n值。 11)已知(1+x+ax^2)^8=1+8x+(k1)x^2+(k2)x^3+x較高次冪的項。 a)以a表k1及k2。 b)若k1=4﹐求a的值。由此求k2的值。 12)在(1+3x)^2 (1+x)^n的展式中﹐x的係數為10﹐其中n為一正整數。 a)求n的值。 b)求x^2的係數。
最佳解答:
10)(1+2x﹣3x2)n = 1+nC1(2x-3x2)+nC2(2x﹣3x2)2+... =1+n(2x﹣3x2)+[n(n﹣1)/2](4x2+...)+... =1+2nx﹣3nx2+2n(n﹣1)x2+... =1+2nx+[2n2﹣2n﹣3n]x2+... =1+2nx+(2n2﹣5n)x2+... a = 2n,b = 2n2﹣5n b)2n2﹣5n = 63 2n2﹣5n﹣63 = 0 (n﹣7)(2n+9) = 0 n = 7 or n= -9 (捨去) n = 7 11a)(1+x+ax2)8 =1+8(x+ax2)+28(x+ax2)2+56(x+ax2)3+... =1+8x+8ax2+28(x2+2ax3+...)+56(x3+...)+... =1+8x+8ax2+28x2+56ax3+56x3+... =1+8x+(8a+28)x2+(56a+56)x3+... k1 = 8a+28,k2 = 56a+56 b)k1 = 4 8a+28 = 4 a = -3 k2 = 56(-3)+56 = -112 12a)(1+3x)2(1+x)n = (1+6x+9x2)(1+nx+[n(n﹣1)/2]x2+...) = 1+nx+6x+[n(n﹣1)/2]x2+6nx2+9x2+... x的係數為10 n+6 = 10 n = 4 b)x2的係數 = [n(n﹣1)/2]+6n+9 = [4(4﹣1)/2]+6(4)+9 = 39
其他解答:
p.42 (10.11.12) 二項式定理 中四符加數
發問:
10) 已知(1+2x-3x^2)^n=1+ax+bx^2+x高次冪的項﹐其中n為正整數。 a)試以n表a及b b)b=63﹐求的n值。 11)已知(1+x+ax^2)^8=1+8x+(k1)x^2+(k2)x^3+x較高次冪的項。 a)以a表k1及k2。 b)若k1=4﹐求a的值。由此求k2的值。 12)在(1+3x)^2 (1+x)^n的展式中﹐x的係數為10﹐其中n為一正整數。 a)求n的值。 b)求x^2的係數。
最佳解答:
10)(1+2x﹣3x2)n = 1+nC1(2x-3x2)+nC2(2x﹣3x2)2+... =1+n(2x﹣3x2)+[n(n﹣1)/2](4x2+...)+... =1+2nx﹣3nx2+2n(n﹣1)x2+... =1+2nx+[2n2﹣2n﹣3n]x2+... =1+2nx+(2n2﹣5n)x2+... a = 2n,b = 2n2﹣5n b)2n2﹣5n = 63 2n2﹣5n﹣63 = 0 (n﹣7)(2n+9) = 0 n = 7 or n= -9 (捨去) n = 7 11a)(1+x+ax2)8 =1+8(x+ax2)+28(x+ax2)2+56(x+ax2)3+... =1+8x+8ax2+28(x2+2ax3+...)+56(x3+...)+... =1+8x+8ax2+28x2+56ax3+56x3+... =1+8x+(8a+28)x2+(56a+56)x3+... k1 = 8a+28,k2 = 56a+56 b)k1 = 4 8a+28 = 4 a = -3 k2 = 56(-3)+56 = -112 12a)(1+3x)2(1+x)n = (1+6x+9x2)(1+nx+[n(n﹣1)/2]x2+...) = 1+nx+6x+[n(n﹣1)/2]x2+6nx2+9x2+... x的係數為10 n+6 = 10 n = 4 b)x2的係數 = [n(n﹣1)/2]+6n+9 = [4(4﹣1)/2]+6(4)+9 = 39
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10a) (1+2x-3x2)n = [1+(2x-3x2)]n = 1 + n (2x-3x2) + [n(n-1)/2] (2x-3x2)2 + ... = 1 + 2nx -3nx2 + 2n (n-1)x2 +... = 1 + 2nx + [2n (n-1) -3n]x2+... So, a = 2n and b = 2n (n-1) -3n = 2n2-5n b) 2n2-5n = 63 2n2-5n – 63 = 0 n = 7 or -4.5 (rejected) Notes: n is positive. 11a) Question: (1+x+ax2)8 = 1+8x+k1x2+k2x3+... Solution: (1+x+ax2)8 = [1+(x+ax2)8] = 1 + 8 (x+ax2) + 28(x+ax2)2 + 56(x+ax2)3+... = 1 + 8x + 8ax2 + 28x2 + 56ax3 + 56x3 +... = 1 + 8x + (8a+28)x2 + (56a + 56)x3 +... So, k1 = 8a+28 and k2 = 56a + 56 b) k1 = 8a+28 = 4 a = -3 k2 = 56a + 56 = 56(-3) + 56 = -112 12a) (1+3x)2 (1+x)n = (1+6x+9x2) (1 + nx +...) = 1 + 6x+9x2 + (1+6x+9x2) nx +... = 1 + 6x+9x2 + nx +6nx2 +... = 1 + (6+n)x +(9+6n)x2 +... ∵coef of x = 10 = 6+n ∴ n = 4 b) coef of x2 = 9+6n = 9+6(4) = 33
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